راهنمای تغییر برنامه ریاضی اول ابتدایی

مقدمه و دلایل تغییر برنامه ریاضی

فعالیت‌های آموزشی در هر کشور را می‌توان سرمایه‌گذاری یک نسل برای نسل دیگر دانست. هدف اصلی این سرمایه‌گذاری توسعه‌ی انسانی است، به عبارت دیگر هدف فعالیت‌های آموزشی رشد و آگاهی و توانمندی‌های بالقوه انسان است.

هدف‌های آموزشی و روش‎های آموزشی در کشورهای مختلف جهان شباهت‌های زیادی به هم دارند و مقایسه میزان تحقق آنها، پژوهشگران را متوجه تاثیر عوامل گوناگونی که در فرآیند آموزش و یاددهی‎ـ یادگیری دخالت دارند، کرده است. برخی از این عوامل و عناصر مانند کتاب‌های درسی و برنامه‌های آموزشی و درسی را متخصصین موضوعی تهیه می‌کنند، و برخی عوامل دیگر مانند شکل و ساختار سیستم آموزشی مانند ساعات تدریس و روش‌های ارزشیابی آموزشی توسط متخصصین آموزشی تعریف می‌شوند. اما برخی دیگر از عوامل به باورها و انتظارات دانش‌آموزان و معلمان درباره‌ی نقش‌ها و هدف‌هایشان از فعالیت‌ها‌ی آموزشی مربوط می‎شوند. معلمان و دانش‌آموزان با علایق، باورها و انگیزه‌های متفاوتی به کلاس درس می‌آیند و باورها و انگیزه‌های آنان بر فرآیند یاددهی‎ـ یادگیری تاثیری تعیین کننده دارند.

راهنمای تغییر برنامه ریاضی اول ابتدایی

تهیه و تنظیم: وحید عالمیان

ریاضی اول

باسمه تعالی

راهنمای تغییر برنامه ریاضی اول ابتدایی

تهیه و تنظیم: وحید عالمیان

ادامه مطلب

مثلا، این‌که دانش‌آموزان با چه توانمندی‌های اولیه و چه میزان تجربه به کلاس درس ریاضی می‌آیند و معلم، توانایی آن‌ها در فهم مسائل را چگونه ارزیابی می‌کند بر فرایند آموزش در کلاس درس موثر است. همچنین اگر دانش‌آموزان برای حل مسائل ریاضی بر این باور باشند که فقط باید به دنبال یک پاسخ صحیح رفت، بیش از آن‌که به راه‌حل‌ها، درک مفهوم مسئله و چگونگی آن بیندیشند و صرفنظر از این‌که مسئله را تا چه حد فهمیده یا راه‌حل‌های مختلف آن را آزموده باشند، به فکر یافتن و بیان پاسخ صحیح خواهند بود.

هدف از آموزش ریاضی تنها پرورش نخبه‌ها و علاقه‌مندان به ریاضی یا افراد خاصی که می‌خواهند رشته ریاضی را در سطح دانشگاهی ادامه دهند نیست، بلکه در این برنامه، هدف از آموزش ریاضی، بهتر زندگی کردن دانش‌آموزان می‌باشد. بنابراین برقراری ارتباط بین ریاضی و زندگی روزمره، کسب مهارت‎های مدل‌سازی ریاضی و حل مسئله، رشد مهارت‌‌های تفکر، برقراری ارتباط بین نمایش‌های مختلف ریاضی و تعبیر و تفسیر آن‌ها، برقراری ارتباط بین ریاضی و سایر علوم و در حالت کلی، به کارگیری مفاهیم ریاضی در محیط پیرامونی و تفسیر و تحلیل آن‌ها از جمله هدف‌های اصلی این برنامه درسی  است. از دیگر دلایل ارائه یک برنامه درسی ریاضی جدید می‌توان به نتایج آزمون بین‌المللی تیمز اشاره کرد که براساس نتایج آنها دانش‌آموزان ایرانی از قدرت بالایی در پاسخ‌گویی به سوالاتی که در اهداف بالا ذکر شده برخوردار نبوده‌اند. از طرفی تحولات و تغییرات اجتماعی باعث تغییر نیازها و انتظارات دانش‌آموزان شده است و این برنامه درسی، نیازهای جدید دانش‌آموزان و جامعه را مورد توجه قرار داده است. رشد آموزش ریاضی و رویکردهای جدید آموزش ریاضی نیز از دیگر دلایلی است که اصلاح  برنامه درسی فعلی را ضروری می‌کند.

امیرالمومنین علی(ع) در حکمت 92 می‌فرمایند: «آموزش و یادگیری فقط از راه تعقل و درک و فهم تحقق می‌یابد»، بنابراین برنامه‌های درسی خصوصاً برنامه درسی ریاضی که اساس آن بر منطق و عقل بنا شده است باید به گونه‌ای تدوین شود که موجبات تحول در شیوه‌های سنتی تدریس معلمان را فراهم آورد و به‌جای طراحی برای آموزش و انتقال دانش، دانش‌آموزان را به فراگیری راه‌های کسب دانش و یادگیری هدایت نماید. خصوصاً در دوره‌ی ابتدایی که اولین گام‌های آموزش رسمی شکل می‌گیرد، تدوین برنامه‌های آموزشی باید با رعایت استانداردهای آموزش ریاضی چون حل مسئله، اثبات و استدلال، اتصال پیوندهای موضوعی ـ مفهومی و گفتمان ریاضی همراه باشد تا موجبات تربیت نسلی سالم، با نشاط، پرسشگر، فکور و متخلق به اخلاق اسلامی فراهم آید.

ضرورت و اهمیت آموزش ریاضی

وظیفه اصلی آموزش و پرورش به عنوان یک نهاد دولتی، پرورش نیروهای انسانی متعهد و کارآمد برای ورود به جامعه است. همگان باید بتوانند استعدادها و توانایی‌های ذاتی خود را پرورش دهند و متناسب با آنها نقش مناسبی را در جامعه بازی کنند تا در نهایت جامعه به سمت تعالی معنوی و مادی پیش رود.

 در این راستا ریاضی نقش عمده‌ای ایفا‌ می‌کند. یک دانش ریاضی مناسب و یک آموزش مناسب از ریاضی، پایه اصلی کارآمدی نیروهای انسانی است. ریاضی اولاً همانند زبانی است که به طور مداوم نیازمند آنیم تا آنچه که می‌بینیم، می‌دانیم و می‌فهمیم را با روشهای دقیق، توصیف و تشریح کنیم و از این طریق دانایی خود را گسترش دهیم و از ریاضی در حل مسائل استفاده کنیم. به همین خاطر است که ریاضی را زبان علم می‌نامند و در هر برنامه درسی ریاضی حضور دارد. ثانیاً ریاضیات علمی است که دارای نظم و سازگاری درونی است و به منظور پرورش نظم فکری و بالا بردن قدرت اندیشیدن و استدلال منطقی و نیز خلاقیت ذهنی مورد توجه قرار می‌گیرد.

نیاز به ریاضی یک نیاز زیربنایی است و هر گونه عمل منطقی و حساب شده و برنامه‌ریزی شده در زندگی محتاج داشتن مهارت‌های اصلی ریاضی مانند تجزیه و تحلیل، درک روابط منطقی بین مفاهیم و وقایع و پیش‌بینی نتایج احتمالی است.  جنبه دیگری از ریاضی نیازمند آزادی اندیشه و رهایی از قید زمان و مکان است، زیرا در بسیاری از موارد ،مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضا‌های آفریده شده ریاضی‌دان صورت می‌گیرد. اگرچه نهایتا ریاضیدان وابسته به مفاهیم و تصوراتی است که ریشه در مفاهیم پیرامونی دارد.

رویکرد برنامه‌ درسی ریاضی در دوره ابتدایی

رویکرد اصلی حاکم بر این برنامه یک رویکرد فرهنگی ـ تربیتی با تاکید بر حل مسئله از طریق محور قرار دادن یادگیرنده در بازسازی مستمر تجربه از راه مهارت‌های اکتشاف می‌باشد.

این برنامه توجه ویژه به قانون موجود در طبیعت کودک مبنی بر تقدم بُعد فعال او بر غیرفعال داشته و تلاش در راه رشد مهارت‌های تفکر در کودکان را نیازی اساسی می‌داند و آن عبارتست از توانایی‌هایی که در پایین‌ترین سطح عقلانی بدون برخورداری از آموزش رسمی در کودکان وجود دارند، مانند: مشاهده، طبقه‌بندی، ردیف کردن، تشخیص امور متناظر و . . . پژوهش‌ها نشان می‌دهد. هماهنگی بین این توانایی‌های اولیه فکری با مهارت‌های اکتشاف چون: رمز گشایی نمادهای نوشتاری، محاسبه، اندازه‌گیری، ترسیم شکل و نظم بخشیدن به داده‌ها که در سن مدرسه مورد توجه کودکان قرار می‌گیرد می‌تواند در پایان دوره دبستان دانش‌آموزان را به درک و فهم آن‌چه در فرایند علمی رخ می‌دهد و همچنین ویژگی‌های تعامل بین عناصر در یک نظام فیزیکی هدایت ‌نماید.

اگر یادگیری تغییر رفتار از راه تجربه معنا می‌شود منظور این است که در سایه تجربه و فعال شدن شاگرد تغییرات اساسی در عادت‌ها، گرایش‌ها، تمایلات و شیوه برخورد دانش فرد حاصل می‌شود هنگامی که موضوع درسی به صورت مسئله طرح شود و شاگرد مانند یک پژوهشگر برخورد کند تخمین‌ها و حدسیه‌های خود را مورد بررسی قرار دهد و ضمن مرتب کردن و سازماندهی یافته‌ها به برقراری ارتباط مفاهیم و موضوعات بپردازد به تدریج در او عادت‌های علمی به‌وجود می‌آید و در این فرایند آموزشی روش کار و همیاری با دیگران و چگونگی حل مسائل روزمره زندگی از طریق یادگیری‌های مدرسه را فرا می‌گیرد.

اصول رویکرد آموزشی برنامه درسی ریاضی دوره ابتدایی

1- توجه به تواناییهای عقلانی در کودک (به عنوان پایه‌های ساخت شناختی)

2- توجه به تفاوت‌های فردی در ابعاد جسمی، ذهنی و روانی (به منظور ارتباط تجربه و عمل با سطح تجرد)

3- برقراری ارتباط بین ریاضی و دنیای واقعی فراگیران (ایجاد انگیزه درونی)

4- فعال نمودن دانش‌آموزان در جریان یاددهی ـ یادگیری از طریق حدسیه‌سازی

5- ایجاد موقعیت‌های چالش برانگیز و هدایت دانش‌آموزان به یادگیری از طریق خوب دیدن، خوب شنیدن و گفتن

6- ایجاد شرایط مناسب به منظور بحث و بررسی و استدلال در رد یا تایید نظرات خود و دیگران

7- پرورش مهارت‌ها ارزش‌گذاری رخدادهای آموزشی در کلاس درس و بیان آن به زبان ریاضی

8- فرصت مسئله‌سازی در بافت واقعی یا تخیلی به منظور تعمیم یافته‌ها به موقعیت‌های جدید

اهداف کلی ریاضی مدرسه‌ای ابتدایی

اهداف دانشی:

1-درک مفهوم عدد و آشنایی با نمایش‌های مختلف اعداد و روابط بین آن‌ها

2-آشنایی با اعمال جبری بین اعداد و انجام این اعمال با تبحر کافی و تخمین زدن آن‌ها

3-درک الگوها و روابط

4-آشنایی با زبان ریاضی و استفاده از زبان ریاضی در ارائه مطالب

5-آشنایی با مفاهیم اساسی هندسه

6-شناسایی و تحلیل ویژگی‌ها و مشخصه‌های شکل‌های هندسی در صفحه و فضا

7-آشنایی با جبری‌سازی مفاهیم هندسی

8-آشنایی با تقارن‌ها  و به کارگیری آن

9-درک کمیت‌های وابسته به اشیاء، واحدها، دستگاه‌های اندازه‌گیری و فرآیند اندازه‌گیری

10-به کارگیری فنون، ابزارها و فرمول‌های مناسب برای اندازه‌گیری

11-آشنایی با روش‌های آماری برای نمایش و تحلیل داده‌ها و ارزیابی و نتیجه‌گیری

12-درک معنی نمایشهای مختلف ریاضی

13-آشنایی با تاریخ ریاضی و کارکردهای زیبا شناختی ریاضی در هنر با ناکید برذ فرهنگ اسلامی-ایرانی

اهداف مهارتی:

1-کسب توانایی توصیف موقعیت‌های گوناگون با زبان و روش‌های ریاضی

2-کسب توانایی تجزیه و تحلیل موقعیت‌ها و یافتن مفاهیم ریاضی در آن‌ها

3-کسب توانایی مرتبط کردن مفاهیم ریاضی با وضعیت‌های محیط پیرامونی

4-رشد توانایی مدل‌سازی ریاضی از موقعیت‌های مسئله‌گونه، حل مدل و یافتن جواب‌ها در ریاضی و تفسیر جواب‌ها در مسئله واقعی

5-کسب توانایی تجزیه و تحلیل منطقی جملات و انجام استدلال روی آن‌ها

6-کسب توانایی مباحثه و دقیق شدن در مفاهیم و یافتن حقایق از طریق تحلیل منطقی

7-کسب توانایی حل مسئله ریاضی و حل مسائل واقعی و بکارگیری راهبردهای حل مسئله

8-کسب توانایی گمانه زنی و پذیرش یا رد آنها

9-کسب توانایی به نمایش درآوردن مفاهیم و اطلاعات و موقعیت‌های مسئله‌گونه

10-کسب مهارت‌های تفکر (نقاد، خلاق، دیداری(بصری) و تصمیم‌ساز)

11-فرضیه‌سازی و بررسی فرضیه‌ها در یک موقعیت مسئله‌گونه

12-رشد و توسعه توانایی های تجسم،انتزاع و تعمیم

13-کسب توانایی تقریب زدن و تحلیل دقت و صحت و تخمین خطا در موقعیتهای اندازه گیری

14-توانمند شدن در استفاده از فن آوری برای توسعه دانش و به کارگیری آن

15-به کار گیری فنون،ابزارها و فرمولهای مناسب برای اندازه گیری

16-نمودار خوانی و تحلیل نمودار

اهداف نگرشی:

1-یافتن نگرش مثبت به ریاضی به عنوان ابزاری قدرتمند و اساسی برای درک و حل مسائل واقعی

2-معنادار دیدن مفاهیم ریاضی از طریق مشاهده آن‌ها در محیط پیرامونی

3-مرتبط دانستن مفاهیم ریاضی با یکدیگر و با مفاهیم محیط پیرامونی

4-کسب روحیه حقیقت‌جویی و صداقت علمی

5-کسب روحیه نقادی و نقدپذیری نسبت به مطالب ارائه شده

سال اول دوره ابتدایی

ویژگی مشترک دانش‌آموزان سال اول ابتدایی عبارتست از:

1-بیشترین یادگیری در این پایه سنی از طریق بازی، اکتشاف و چالش و ایفای نقش در داستان می‌باشد.

2-دانش آموزان در این سن دوست دارند سوال کنند.

3-دانش آموزان در این سن علاقه دارند روی مطلبی که یاد می‌گیرند کار کنند و مشاهداتشان را توضیح دهند.

اهداف سال اول دوره ابتدایی:

اعداد و عملیات

1-شمارش، نماد عدد و ارزش مکانی

  1-1-بتواند اعداد 1 تا 100 را بشمارد.

  1-2-بتواند اعداد 1تا 99 را به صورت عددی و حرفی بنویسد و بخواند.

    1-2-1-شکل‌های مختلف نوشتاری اعداد را بشناسد.

    1-2-2-صفر را بشناسد.

 1-3-بتواند ارزش مکانی اعداد را در رده‌های ده تایی و یکی تشخیص دهد.

2-اعداد ترتیبی

  2-1-با استفاده از عدد تعداد اعضای یک مجموعه را مشخص کند.

      2-1-1-تعداد اشیا را در محیط زندگی خود تخمین بزند (مثلاً تعداد بیسکویت‌های یک بسته بیسکویت).

      2-1-2-از چوب خط برای نمایش تعداد در یک داستان استفاده کند.

      2-1-3-قادر به ساخت دسته های چند تایی باشد.

  2-2-با استفاده از عدد داده شده مجموعه‌ای با تعداد اعضایی که آن عدد را نمایش می‌دهد،نشان دهد.

      2-2-1-از نمایش‌های متعدد برای بیان یک عدد استفاده کند.

  2-3-بتواند از اعداد ترتیبی نظیر اولین، دومین،. . . جهت توصیف شرایط استفاده کند.

  2-4-از اعداد برای توصیف و شمارش و تخمین کمیت در زندگی روزمره استفاده کند.

  2-5-بتواند دنباله‌ای از اعداد را کامل کند.

3-مقایسه کردن، مرتب کردن

  3-1-بتواند دو مجموعه را با یکدیگر مقایسه کند و درکی نسبت به تفاوت تعداد اعضای مجموعه پیدا کند.

     3-1-1-بتواند با استفاده از تناظر یک به یک این تفاوت را درک نماید.

     3-1-2-در مقایسه دو مجموعه از عبارت‌هایی نظیر بیشتر از، کمتر از، خیلی بیشتر از، خیلی کمتر از و برابر استفاده کند.

     3-1-3-جوابی برای پرسش چقدر بیشتر از یا چقدر کمتر از پیدا کند.

  3-2-اعداد رامقایسه کند.

     3-2-1-در مقایسه کردن از عباراتی نظیر کوچکتر، کوچکترین، بزرگتر، بزرگترین استفاده کند.

     3-2-2-بتواند از نمادهای ریاضی بیشتر است یا کمتر است و یا برابر است با استفاده کند.

  3-3-اعداد را به صورت افزایشی یا کاهشی مرتب کند.

4-جمع و تفریق

  4-1-بتواند مفهوم عمل جمع و تفریق را درک نماید.

     4-1-1-بتواند از راهبرد شمارش برای جمع و تفریق استفاده کند.

     4-1-2-معنای جمع کردن و عمل وارون آن، کم کردن و عمل وارون آن را درک نماید.

     4-1-3-ارتباط متقابل جمع کردن و تفریق کردن را بفهمد.

  4-2-جمع و تفریق را به صورت کلامی بیان کند و به صورت ریاضی بنویسد.

     4-2-1-مسائل مربوط به جمع و تفریق را به صورت کلامی بیان نماید و سپس به عبارت ریاضی تبدیل کند و حل نماید.

     4-2-2-در حل مسائل داستانی بتواند از چوب‌خط،انگشتان دست،ایفای نقش و... برای نمایش اعداد استفاده کند و رابطه ریاضی مربوط به ‌آن را بنویسد.

  4-3-ترکیب و تجزیه اعداد را بتواند تا 10 انجام دهد.

     4-3-1-دانش‌آموز به این درک برسد که اگر بخواهد از اعداد مختلف به عدد مفروضی برسد چند تا باید به آن بیافزاید.

  4-4-بتواند جمع و تفریق‌های ساده را به طور ذهنی انجام دهد.

  4-5-با جمع و تفریق اعداد دو رقمی آشنا شود.

     4-5-1-جمع و تفریق اعداد دو رقمی با یک رقمی که نیاز به انتقال به دهگان یا از دهگان را ندارد، انجام دهد.

     4-5-2-جمع و تفریق با دو رقمی که رقم یکان هر دو آن‌ها صفر است را انجام دهد.

  4-7- از ماشین‌حساب برای اطمینان از درستی جواب مساله استفاده کند.

  4-8-نسبت به خواص ریاضی جمع درک اولیه پیدا کند.

     4-8-2-درکی از صفر به عنوان عضو بی اثر در عمل جمع و تفریق پیدا کند.

     4-8-3-تشخیص دهد که در تفریق باید نحوه قرار گرفتن اعداد بزرگتر و کوچکتر را رعایت کند.

  4-9-نمایش جمع و تفریق به صورت ستونی را نیز انجام دهد.

  4-10-جمع و تفریق‌های متوالی تا حاصل جمع حداکثر 10را (تا دو مرحله) انجام دهد.

اندازه‌گیری

1-اندازه‌گیری طول، وزن

  1-1-با استفاده از واحدهای غیراستاندارد، طول،اجسام را اندازه بگیرد و با هم مقایسه کند.

     1-1-2-بتواند از تقریب‌های ساده جهت مقایسه طول، وزن ، استفاده کند.

     1-1-3-از عباراتی نظیر بزرگ (تر، ترین)، کوچک (تر، ترین) کوتاه (تر، ترین)، بلند (تر، ترین)، سنگین (تر، ترین) سبک (تر، ترین) استفاده کند.

     1-1-4-از اصطلاحاتی نظیر در حدود، تقریباً، کمی بیش‌تر استفاده کند.

     1-1-5-از عباراتی نظیر هم‌اندازه و هم‌وزن برای تخمین اجسام با طول و وزن یکسان استفاده کند.

  1-2-به گفته‌های شفاهی واکنش نشان بدهد (مثلاً یک مار بلند بکشد، جسم سنگین‌تر را بیابد).

  1-3-تخمین‌هایی در مورد خود ارایه دهد (مثلاً فکر کنم دستم به کلید برق برسد، این جسم برایم سنگین است).

2-زمان

  2-1-بتواند زمان طی شده را با یک واحد غیراستاندارد تخمین بزند (مثلاً روز،شب و...)

  2-2-زمان را در ساعات رند بخواند (ساعت 12، لازم نیست بداند 20 چه ساعتی است.)

  2-5-مفهوم روز، هفته، ماه، فصل و سال را درک کند.

     2-5-1-بتواند روزهای هفته را به ترتیب بگوید.

    2-5-3-بتواند اسم فصل‌ها و ترتیب آنهاا را به ترتیب بگوید.

    2-6-از اصطلاحات حالا، پس از، روز، شب، نزدیک به، تقریباً و در حدود، استفاده کند.

3-7-ترتیب طی شدن زمانها را با توجه به فعالیتهایی که انجام می دهد بیان نماید.

هندسه

1-خط و نقطه

  1-1-درک اولیه از مفهوم و انواع  خط پیدا کند.

     1-3-با رسم خطوط مختلف دو جسم را به هم وصل کند.

     1-3-3-بتواند بدون و با  استفاده از خط‌کش، خط راست بکشد.

2-شکل‌ها

  2-1-اشکال دو بعدی مانند مثلث، مربع، دایره، مستطیل، چند‌ضلعی و ‌دایره را به طور شهودی بشناسد.

     2-1-1-بتواند اشکال مثلث،مربع، مستطیل و دایره را نام‌گذاری کند .

     2-1-3-با شابلون بتواند بعضی از اشکال هندسی  را رسم کند.

     2-1-4-بتواند شکل‌های مشابه را بر حسب رنگ و شکل طبقه بندی نماید.

     2-1-5-با اشکال دو بعدی، شکل‌های جدید در اطرافش بسازد.

  2-2-اشکال سه بعدی، مکعب، مکعب مستطیل را به صورت شهودی بشناسد. (نام‌گذاری نیازی نیست)

     2-2-1-با اشکال سه بعدی ساختارهای جدید بسازد.

2-3-تفاوتها و شباهتهای اشکال هندسی را بیان کند.

3-موقعیت و جهت

  3-1-با استفاده از اصطلاحات متداول نظیر چپ، راست، بالا، پایین، داخل، بیرون، پشت، جلو، عقب، دور و نزدیک، موقعیت‌ها و جهت‌ها را بشناسد.

     3-1-1-از عباراتی نظیر از چپ به راست، از بالا به پایین، داخل به بیرون برای بیان موقعیت استفاده کند.

     3-1-2-مفهوم و واژه‌های موقعیت‌ و جهت را در محیط پیرامونی بیان کند (مثلاً کتاب روی کیف، دورن قفسه قرار دارد)

     3-1-3-با گفتن عباراتی نظیر دایره بالای مثلث یا داخل مربع ، بتواند شکل را ترسیم کند یا موقعیت را تداعی کند.

  3-2-رابطه خود با اشیای محیط را درک کند و بیان نماید (مثلاً من روی صندلی نشسته‌ام)

  3-3-جهتی را که فلش نشان می دهد ، تشخیص دهد.

4-تقارن

  4-1-اشکال متقارن را در محیط بیرون درک نماید و بشناسد.

     4-1-1-شکل متقارن را از غیر متقارن تشخیص دهد.

     4-1-2-در نقش قالی یا تصاویر معماری اسلامی تقارن‌ها را تشخیص دهد.

  4-2-اشکال متقارن را با ابزارهای شهودی بشناسد.

     4-2-1-اشکال متقارن را کامل کند.

     4-2-2-شکل‌های متقارن را رنگ‌آمیزی کند.

جبر

1-الگوهای هندسی

  1-1-الگوهای هندسی را کامل کند.

     1-1-1-بسته به شکل، اندازه و رنگ بتواند الگو را در شکل‌های دو بعدی و سه بعدی (بدون دانستن نام اشکال سه بعدی) تشخیص دهد و کامل کند.

     1-1-2-بتواند هنگامی که یک قسمت از اشکال دو بعدی یا سه بعدی داده شده است ، آن‌ها را کامل کند.

  1-2-شکل‌های هندسی را در یک ماشین (تابع) قرار دهد و خروجی آن را به دست آورد.

2-الگوهای عددی

  2-1-الگوهای عددی را کشف کند و ادامه دهد.

  2-2-با داشتن ورود و خروج عدد الگو را کشف کند و آن را روی اعداد دیگر انجام دهد.

3-ترکیب الگوهای عددی و هندسی را کشف و ادامه دهد.

آمار

1-جمع آوری داده‌ها

  1-1-با استفاده از روش‌های مناسب تحقیق و سوال به سمت جمع‌آوری اطلاعات هدایت شود.

      1-1-1-سوالاتی مطرح کند که جواب آن‌ها بله یا خیر است و داده‌ها را جمع کند.

     1-1-2-صفاتی نظیر رنگ، شکل و اندازه را تعیین کند و داده‌ها را در مورد آن جمع‌آوری کند.

     1-1-3-سوالاتی که چند جواب دارد را مطرح کند و داده‌ها را جمع کند (مثل بستنی مورد علاقه شما چیست؟)

2-مرتب کردن داده‌ها و رسم نمودار

  2-1-بتواند داده‌های جمع‌آوری شده را دسته‌بندی کند و بشمارد.

  2-2-بتواند برای شمارش داده‌ها از چوب خط استفاده کند.

  2-3-داده‌ها را در یک جدول گردآوری کند.

  2-4-با استفاده از داده‌ها نمودارهای بلوکی رسم کند.

     2-4-1-نمودار را به صورت افقی و عمودی بکشد.

     2-4-2-از نمایش‌های نمادین (مثل شکل سیب یا خیار) استفاده کند.

روشهای یاددهی یادگیری در سال اول ابتدایی

1. ساختارشناختی و دانش آموزان

این سوال که آموزش ریاضیات چه تاثیری روی شخصیت فکری و منش‌های حل مسئله و شیوه‌های یادگیری دانش‌آموزان می‌گذارد به ساختارشناختی آنان مربوط می‌شود. مسلماً پیشینه فکری و مهارت‌هایی که در ذهن دانش‌آموزان نهادینه شده اجازه نمی‌دهد که نظام یکسانی که دانش‌آموزان با آن مواجهند ساختارهای شناختی یکسانی را به دست دهد. این تنوع ساختارهای شناختی که تحت تربیت نظام آموزشی یکسانی بوده‌اند نه تنها ناخواسته نیست، بلکه مورد تاکید است. ذهن دانش‌آموزان همچون گل‌های رنگارنگی که از یک آب و خاک و خورشید بهره گرفته‌اند اما با یکدیگر در رنگ و بو تفاوت دارند که در برابر نظام آموزشی یکسان مهارت‌های مختلفی را به بار می‌دهند و ثمرات گوناگونی را نتیجه می‌دهند. این تنوع زمینه‌های یادگیری دانش‌اموزان را می‌توان در سبک‌های یادگیری و در ساختار انسان‌شناختی دانش‌آموزان خلاصه نمود.

1/1. سبک‌های شناختی

در باب تنوع سبک‌های یادگیری و تفکر و شناخت دانش‌آموزان تئوری‌های گوناگونی وجود دارد. بعضی از این تئوری‌‌ها رفتارگرایانه، بعضی روان‌شناسانه و برخی دیگر مجردتر هستند. تئوری‌های رفتارگرایانه از سایر این نظریه‌ها ملموس‌تر و ساده‌فهم‌تر هستند. از این رو ما یکی از همین نظریه‌ها را برمی‌گزینیم. مجاری شناخت حسی دانش‌آموزان به پنج حس محدود می‌شود که از میان آن‌ها حس بینایی، حس شنوایی و حس لامسه در ارتباط با جهان خارج و یادگیری بر دیگر حس‌ها غلبه دارند. حس بینایی مبنای تفکر تصویری و حس شنوایی مبنای تفکر کلامی و حس لامسه مبنای تفکر دست‌ورزی و ساختنی را پایه‌ریزی می‌کنند. این‌طورنیست که تفکر کلامی، تصویری و دست‌ورزی ذهن دانش‌آموزان را به طور یکسان درگیر کنند. هرچند مهارت‌های تفکر دانش‌آموزان طیفی بین این سه مهارت تفکر است اما معمولاً در اکثر دانش‌آموزان یکی از این سه سبک یادگیری بر دیگران غلبه دارد. این سه مهارت تفکر سه سبک یادگیری کلامی، تصویری و دست‌ورزی را به دست می‌دهند. البته به ندرت ممکن است در دانش‌آموزی دو تا از سبک‌های یادگیری و یا حتی هر سه سبک غلبه داشته باشند.

2/1. سبک یادگیری کلامی

در دانش‌آموزان کلامی ساختار نمادین کلام نقش مهمی در تفکر و یادگیری ایفا می‌کند. اینان کسانی هستند که وقتی فکر می‌کنند به زبان کلمات و جملات با خود حرف می‌زنند و می‌توانند افکار خود را مستقیماً روی کاغذ بیاورند. استدلال ریاضی را مرحله به مرحله و جزء به جزء درک می‌کنند و چون مراحل اثبات به پایان می‌رسد مراحل درک ریاضی آنان خاتمه می‌یابد. ایشان از جزء به سمت درک کل حرکت می‌کنند و معمولاً تئوری‌های آنان در چگونگی همنشینی جزئیات بسیار قوی است اما در همبستگی مبانی و ساختارهای کلی می‌لنگند. درک ایشان از تاریخ نیز از جزء به کل است و بسیاری از تحولات اجتماعی بسیار کند برایشان قابل درک نیست. در برابر ان ادراک اجزاء موثر در وقوع یک صحنه تاریخی برایشان بسیار سهل است. از بین فیلسوفان معروف فلسفه و سبک شناختی ارسطو، کندی، ابن سینا، توماس اکوئیناس و تحت تاثیر ایشان دکارت، کانت و سایر فلاسفه غربی زیر چتر این نوع مهارت یادگیری و تفکر قرار می‌گیرند.

3/1. سبک یادگیری تصویری

در دانش‌آموزان تصویری شهود و تصویر سازی نقش مهمی در تفکر و یادگیری ایفا می‌کنند. وقتی این دانش‌آموزان به تفکر می‌پردازند روند تفکر به زبان مفاهیم و ارتباط بین آن‌ها پیش می‌رود و بازنویسی روند تفکر برای ایشان نیاز به زحمت مضاعف دارد. حتی برخی از ایشان از به کلام در آوردن روند تفکر خود عاجز و ناتوانند اما می‌توانند به خوبی آن را به زبان مفاهیم و ارتباط بین آن‌ها بیان کنند. استدلال ریاضی توسط ایشان به صورتی کلی و مانند نگاه کردن به اجزای یک تابلو به طور سرتاسری ادراک می‌شود. ایشان از درک کل به سوی ادراک جزئیات حرکت می‌کنند و معمولاً تئوری‌های آنان در ساختار و مبانی دقیق است اما در همنشینی و برقراری رابطه بین اجزاء ضعیف می‌نماید. درک ایشان از تاریخ نیز از کل به جزء است و ایشان برعکس دانش‌آموزان کلامی در ادراک تحولات اجتماعی توانا هستند. تفکر شهودی و تجربه نقطه قوت ایشان است. از بین فیلسوفان معروف فلسفه و سبک شناختی افلاطون، فارابی، ابن عربی، سهروردی و ملاصدرا زیر چتر این نوع مهارت یادگیری و تفکر قرار می‌گیرند.

4/1. سبک دست‌ورزی

در دانش‌آموزان دست‌ورز که ساختارگرا هستند بازسازی ساختارها و دست و فکرشان نقش مهمی در تفکر و یادگیری ایفا می‌کند. ایشان با به کار بردن ابزارها و ساختن اشکال و بازسازی ذهنی ساختارها در ذهن خود مفاهیم را یاد می‌گیرند و مهارت‌ها را کسب می‌کنند. ایشان برای درک محتوای درسی احتیاج به خمت کردن با خود دارند حتی اگر آموزش با سبک یادگیری ایشان هماهگ باشد. استدلال ریاضی را تا وقتی خودشان بازسازی نکنند نمی‌فهمند و تاریخ را نیز باید به زبان ذهن خود بازسازی کنند تا بتوانند از آن درس یاد بگیرند. بسیاری از صنعت‌گران و مخترعین زیر چتر این نوع مهارت یادگیری و تفکر قرار می‌گیرند.

5/1. انسان‌شناسی و یادگیری

فیلسوفان دست‌ورز معمولاً به تئوری‌پردازی اشتغال ندارند. اما فیلسوفان کلامی و فیلسوفان تصویری به تئوری‌پردازی در باب انسان پرداخته‌اند. فیلسوفان کلامی انسان را متشکل از جسد و نفس می‌دانند و ادراکات انسانی را همه به قوای مختلف نفس نسبت می‌دهند. مثلاً از دید ایشان تفکر و تعقل دو توانایی نفس هستند و از یک جنس می‌باشند. سر سلسله فیلسوفان کلامی ارسطوست. در برابر فیلسوفان تصویری که بر شهود تکیه دارند برای ساختار شناختی انسان لایه‌های مختلفی را تجربه می‌کنند. مثلاً خاستگاه ... مرد ایشان تعقل عقل ساختار ساز و ساختار شناس است که به طور کلی از تفکر که نفسانی است مجردتر می‌باشد. سر سلسله فیلسوفان تصویری افلاطون است. تفاوت نظرات انسان شناسانه این دو سبک یادگیری بر توصیف خود ایشان بر روند یادگیری تاثیرگذار است. نزد فیلسوفان کلامی یادگیری پدیده‌ای کلامی منطقی استدلالی و جزءنگرانه است اما نزد فیلسوفان دست‌ورز نیز به نوبه خود یادگیری را پدیده‌ای ساختارشناسانه و ساختارسازانه می‌بینند که به نوعی به سبک یادگیری تصویری نزدیک‌تر است تا به سبک یادگیری کلامی.

2. آموزش عدد

عدد یک کلمه قرآنی است. از آیه کل شیء احصیناه عدداً برمی‌آید که معنای آن بر پایه معنی احصاء و شمارش بنا می‌شود. اما هم از این آیه و هم از معنای شمارش در ریاضیات عالی برمی‌آید که معنای عدد به معنای بسیار تعمیم یافته‌تر از آن‌چه در این پایه مورد نظر است تعمیم می‌یابد. لذا لازم است مفهوم عدد چنان در برابر دانش‌آموزان مطرح شود که مقدمه را برای آموزش تعمیم‌های آن فراهم نماید. برای مثال عدد به عنوان کاردینالیستی مقدمه مناسبی برای معرفی اعداد حقیقی نیست و عدد به عنوان طول پیشینه مناسبی برای معرفی اعداد مختلط در دانشگاه نیست اما عدد به عنوان جواب معادله پیشنیه مناسبی برای معرفی اعداد مختلط فراهم می‌کند. لذا باید گذر از کاردینالیستی به طول و گذر طول به جواب یک معادله جبری به طور طبیعی اتفاق بیافتد تا ذهن دانش‌آموزان برای تعمیم‌های عدد که در آینده با آن موااجه می‌شود آماده گردد.

1/2. عدد و دانش‌آموزان کلامی

عدد به عنوان کاردینالیستی و عدد به عنوان ناوردا مفهومی متناسب با سبک یادگیری دانش‌آموزان کلامی است. نزد دانش‌آموزانی با این سبک یادگیری اعداد نمادهایی هستند که مفاهیمی پشت صحنه را خلاصه و کدگذاری می‌کنند. ساختار محاسباتی اعداد نیز از همین مفاهیم کاردینالیستی عدد استخراج می‌شود تا بعد به اعداد گویا تعمیم پیدا کند. همچنین است مفاهیم ضرب و تقسیم که از کاردینالیستی مجموعه‌ها استخراج می‌شوند. دانش‌آموزان کلامی با مفهوم عدد به عنوان طول به صورت استدلالی و با کمک مفهوم »بین» ارتباط برقرار می‌کنند وبا مفهوم عدد به عنوان جواب معادله به خوبی ارتباط برقرار می‌کنند. چرا که زبان معادله خود یک زبان نمادین برای معرفی اعداد است که با سبک یادگیری کلامی و نمادین دانش‌آموزان هماهنگ است. در صورتی که عدد به عنوان طول یک مفهوم تصویری است و باید به صورت کلامی به طور غیر مستقیم درک شود. هر چند سبک شناخت دانش‌اموزان طیفی بین سه سبک یادگیری یاده شده است و ممکن است برای یک دانش‌آموز کلامی عدد به عنوان طولی نیز به طور مستقیم درک شود.

2/2. عدد و دانش‌آموزان تصویری

عدد به عنوان طول مفهومی متناسب با سبک یادگیری دانش‌آموزان تصویری است. لذا بر خلاف دانش‌آموزان کلامی، این دانش‌آموزان عدد به عنوان طول را مبنا برای یادگیری سایر مفاهیم عدد قرار می‌دهند. درک محور اعداد در بین دانش‌آموزان تصویری بسیار اهمیت دارد. این دانش‌آموزان مسئله‌ها را با محور بهتر حل می‌کنند تا این‌که مثلاً از اشیاء ملموس استفاده کنند. حرکت از اعداد طبیعی به اعداد گویا و حرکت از اعداد گویا به اعداد حقیقی روی محور به سهولت انجام می‌پذیرد. در صورتی که برای دانش‌آموزان کلامی این حرکت‌ها باید به صورت منطقی و ذهنی صورت بگیرد. مثلاً اعداد حقیقی به عنوان حد دنباله‌ای از اعداد گویا درک می‌شوند تا به عنوان نقطه ای از محور اعداد.درک اعداد منفی برای دانش آموزان تصویری به کمک محور راحتتر است اما برای دانش‌آموزان کلامی باید به صورت منطقی و استدلالی صورت بگیرد. درک اعداد منفی برای دانش‌آموزان دست‌ورز بسیار مشکل‌تر از دو سبک یادگیری است. چرا که ایشان با دست‌ورزی و ساختن مفاهیم ریاضی را یاد نی‌گیرند که برای اعداد منفی ممکن نیست.

3/2. عدد و دانش‌آموزان دست‌ورز

نزد دانش‌آموزان دست‌ورز عدد به عنوان کاردینالیستی و عدد به عنوان طول هر دو مبنای یادگیری مفهوم عدد قرار می‌گیرد به شرط آن‌که آموزش با اشیاء ملموس و همراه با دست‌ورزی صورت گیرد. چینه‌ها این فرصت را پدید می‌آورند که همه دانش‌آموزان دست‌ورز با مفهوم طول و هم با مفهوم کاردینالیستی در کنار هم دست‌ورزی کنند و این فرصتی است که برای دانش‌آموزان کلامی یا دانش‌آموزان تصویری فراهم نیست. از طرف دیگر درک مفهوم عدد به عنوان ناوردا و عدد به عنوان جواب معادله برای دانش‌آموزان دست‌ورز مشکل‌تر است. هر چند همان‌طور که ذکر شد دانش‌آموزان طیفی بین سبک‌های مختلف یادگیری هستند و نمی‌توان فرض کرد دانش‌آموز کاملاً فاقد زیرساخت‌های یک سبک خاص یادگیری می‌باشد. حرکت از ملموس به مجرد برای دانش‌آموزان دست‌ورز با حرکت از تصویر به مجرد برای  دانش‌آموزان تصویری و با حرکت از کلام به مجرد برای دانش‌آموزان کلامی جایگزین می‌شود. بنابراین اصل حرکت از ملموس به مجرد به همه سبک‌های یادگیری اختصاص ندارد.

4/2. عدد و انسان‌شناسی

سوال این که خاستگاه عدد در ساختار شناختی انسان کجاست. نزد فیلسوفان کلامی عدد یک مفهوم ذهنی است که ساخته ذهن بشر است و پس از ارتباط با ملموس و تجربه این مفهوم تجرید می شود. اما نزد فیلسوفان تصویری عدد یک ساختار ریاضی است که توسط عقل ساختار ساز و ساختارشناس تجربه می‌گردد. بعد به نوبه خود در ذهن و فکر نیز تجلی می‌کند که در لایه تجرید نفس قرار دارد نه در لایه تجرید عقل. نزد فیلسوفان دست‌ورز یا همان مخترعین کاربرد عدد است که اهمیت دارد. لذا عدد همان چیزی است که برای اندازه‌گیری به کار می‌رود و تا جایی که مفهوم اندازه‌گیری تعمیم پیدا کند مفهوم عدد نیز می‌تواند تعمیم پیدا کند. این سوال افلاطون پاسخ نداده باقی می‌ماند که آیا عدد تجلی حقیقتی بالاتر است که در ساختارشناختی انسان تجلی پیدا کرده است و یا ساخته خود بشر است؟ کانت و سایر فیلسوفان غربی که زیر سایه او قرار دارند عدد را مفهومی پیشینی و ساخته ذهن بشر می‌دانند. اما افلاطون عقیده حکما را دارد که عدد تجلی حقیقتی برتر است که از پیش توسط خداوند خلق شده و بعد به انسان آموزش داده شده است.

3. اشکال هندسی

هر چند اشکال هندسی موجوداتی تصویری هستند اما این بدان معنی نیست که دانش‌آموزان کلامی و یا دانش‌آموزان دست‌ورز قادر به درک آن‌ها نیستند. اما در روش‌های شناختی این دانش‌آموزان تفاوت‌هایی وجود دارد که در مواجهه با اشکال هندسی خود را نشان می‌دهند. این مفهوم که هندسه چیست در قرآن با کلمه قدر وارد شده است. مثلاً عبارت "قدرناه تقدیرا" می‌تواند چنین تعبیر شود که هندسه عالم وجود را چنان قرار دادیم تا چنین و چنان شود. بنابراین مفهوم هندسه با مفهوم اندازه‌گیری نیز مرتبط است. در واقع عدد و شکل دو مجرای موازی برای مدلسازی پدیده‌های اطراف ما هستند و ریاضیات هندسی به موازات ریاضیات جبری قابل معرفی هستند اما تقدم درک اشکال دو یا سه بعدی نزد سبک‌های مختلف یادگیری متفاوت است. مثلاً نزد دانش‌آموزان دست‌ورز درک اجسام سه بعدی ساده مقدم بر درک اشکال دو بعدی ساده است. اما نزد دانش‌آموزان کلامی که از جزء به کل حرکت می‌کنند برعکس می‌باشد.

1/3. تصویر و دانش‌آموزان کلامی

دانش‌آموزان کلامی تصویر را از جزء به کل درک می‌کنند لذا برای آنان معرفی اشکال دو بعدی مقدم بر اشکال سه بعدی و مقدم بر همه آن‌ها معرفی گوشه و ضلع است. پس از معرفی گوشه و ضلع اشکال مثلث، مربع و مستطیل معرفی می‌شوند. درک مفهوم دایره برای دانش‌آموزان کلامی مشکل‌تر از دانش‌آموزان تصویری و دست‌ورزی است. دانش‌آموزان باید بتوانند تفاوت‌های اشکال ساده هندسی را به صورت کلامی بیان کنند. درک تفاوت‌ها و شباهات دایره با سایر اشکال هندسی برای دانش‌آموزان کلامی کار مشکلی نیست. اما تعریف و توصیف دقیق دایره برای دانش‌آموزان کلامی این پایه مشکل است. بعد از معرفی اشکال ساده دو بعدی نوبت به معرفی اشکال سه بعدی می‌رسد که در پایه‌های بالاتر معرفی می‌شوند. همان‌طور که گفتیم دانش‌آموزان دست‌ورز اشکال سه بعدی را راحت‌تر از اشکال دوبعدی می‌شناسند. تعریف منطقی اشکال ساده دوبعدی برای دانش‌آموزان کلامی ساده‌تر از سایر سبک‌های شناختی است. حتی ممکن است تعریف منطقی این اشکال برای دانش‌آموزان سبک‌های دیگر شناختی متفاوت باشد.

2/3. تصویر و دانش‌آموزان تصویری

دانش‌آموزان تصویری تصاویر دوبعدی را ساده‌تر از تصاویر سه بعدی می‌یابند. اما دیدگاه آنان نسبت به تصویر برخلاف دانش‌آموزان کلامی از کل به جز می‌باشد. برای این دانش‌آموزان معرفی مربع، مثلث و مستطیل و دایره مقدم بر مغهوم گوشه و ضلع است. تمایز بین اشکال ساده هندسی برای دانش‌آموزان تصویری راحت‌تر اما توصیف تفاوت‌ها و شباهت‌ها به طور کلامی برای ایشان مشکل‌تر است. یعنی عبارات کلامی که ایشان به کار می‌برند تا اشکال را توصیف کنند به اندازه کافی گویا نیست. درک تفاوت‌ها و محورهای تقارن برای دانش‌آموزان تصویری ساده‌تر از سایر سبک‌های یادگیری است. توصیف تقارن برای دانش‌آموزان کلامی ممکن اما دشوار است و برای دانش‌آموزان دست‌ورز که باید متقارن یک جزء از شکل را خودشان بسازند تا بتوانند مفهوم تقارن را درک کنند نیز دشواری‌های تازه‌ای خود را به نمایش می‌گذارند. بنابراین مهم است که انتظارات معلمان از دانش‌آموزان هماهنگ با سبک یادگیری و شناختی آنان باشد و از دانش‌آموزان یک سبک شناختی انتظارات متناسب با سایر سبک‌های شناختی را نداشته باشند.

3/3. تصویر و دانش‌آموزان دست‌ورز

دانش‌آموزان دست‌ورز با اشیاء سروکار دارند نه با تصاویر. لذا درک ایشان از اشیاء سه بعدی بر درک اشیاء دو بعدی مقدم است. دانش‌آموزان دست‌ورز نیز اشیاء را از کل به جزء درک می‌کنند. بر خلاف دانش‌آموزان کلامی که اشیاء را از جزء به کل درک می‌کنند. ایشان می‌توانند با قرار دادن لیوان روی کاغذ و مداد کشیدن دور آن دایره بسازند و یا با قرار دادن مکعب روی کاغذ و مداد کشیدن دور آن مربع بسازند و این‌طور از سه بعد به دو بعد حرکت کنند. ساختن استوانه و مکعب برای ایشان مقدم بر ساختن اشکال دوبعدی متناظر است. درک تقارن برای دانش‌آموزان دست‌ورز بر پایه تجربه ممکن است ، ایشان متقارن یک شکل را می‌سازند و این‌گونه به درک مفهوم تقارن می‌رسند. کار با ابزارها مانند قیچی و خط‌کش و شابلون در درک این دانش‌آموزان از اشکال هندسی بسیار مرکزیت دارد. توجه کنید که سبک تالیف کتاب درسی خطی است و ممکن نیست همزمان به همه دانش‌آموزان با سبک‌های شناختی مختلف مطابق با مراحل شناختی آنان آموزش داد. پس  در کار با دانش‌آموزان صبور باشید.

4/3. تصویر و انسان‌شناسی

سوال این‌که جایگاه تصویر در ساختارشناختی انسان کجاست. نزد فیلسوفان کلامی تصویر ذهن درک می‌شود همانطور که عدد توسط ذهن درک می‌شود. اما نزد فیلسوفان تصویری تصویرسازی اهمیت دارد. ایشان با تصویرسازی عوالم مختلف تجرید شناخت انسان را نزد خود بازسازی می‌کنند. لذا تصویر برای ایشان در تمام لایه‌های تجدید شناخت جاری است. لذا تفکر تصویری بر تفکر عددی نزد ایشان اولویت دارد. از این رو اگر بخواهیم یادگیری ایشان را به یادگیری کلامی محدود کنیم به سبک شناختی ایشان شدیداً فشار آورده‌ایم. به علاوه درکی که ایشان از تصویر دارند بسیار گسترده‌تر از سایر سبک‌های شناختی است و نباید انتظار داشته باشیم سایر سبک‌های شناختی در درک تصویر با ایشان برابری کنند. برای دست‌ورزان تصویر همان شیی است و یادگیری تصویری تنها از طریق دست ورزی ممکن است. لذا باید اشیایی متناظر با اشکال مورد نظر در برنامه درسی در دسترس دانش‌آموزان قرار داشته باشد.

4. شمارش

شمارش در ریاضیات عالی تعمیم‌های پیچیده‌ای دارد ولی در دوره اول ابتدایی شمارش از شمارش گسسته که همان شمارش با اعداد صحیح باشد تا شمارش پیوسته که همان اندازه‌گیری باشد تعمیم می‌یابد. در واقع مفهوم عدد به موازات درک دانش‌آموزان از مفهوم شمارش تعمیم پیدا می‌کند. درک هر دانش‌آموز از عدد هنگام شمارش گسسته یک درک گسسته و درک او از عدد هنگام اندازه‌گیری متناظر با مفهوم طول و پیوسته است. از آن‌جا که اعداد گویا و حقیقی هنوز معرفی نمی‌شوند از مفهوم" بین "برای درک پیوسته از عدد حاصل از اندازه‌گیری استفاده شده است. البته برای رسیدن به این مرحله از درک عدد دانش‌اموز باید مراحلی را به ترتیب طی کند تا برای رسیدن به این درک پیوسته از اعداد آماده شود. این درک پیوسته از عدد در ساعت نیز به کار رفته است و ساعت به عنوان وسیله‌ای برای گسسته کردن شمارش زبان معرفی می‌شود. مفهوم ساعت" بین مثلاً 5 و 6 است" به همین منظور آورده شده است.

1/4. مبنای شمارش

در نظام پیشین آموزشی برای شمارش گسسته از مبنای 10 استفاده شده بود اما با این پیش فرض که دانش‌آموزان اعداد زیر پنج را بدون شمارش می‌شناسند. بنابراین باید 7 را 2 و 5 ببینند و مانند آن. اما این اتفاق نمی‌افتاد. بلکه دانش‌آموزان اعداد یک رقمی بزرگ‌تر از 5 را با شمارش مستقیم می‌شناختند. برای تاکید بر این‌که عدد 6 همان 5 و 1 و عدد 7 همان 5 و 2 است و مانند آن ما به دسته‌های پنج‌تایی و شناختن 6 به عنوان 1 و 5 و عدد 7 به عنوان 2 و 5 و همین‌طور تا 9 به عنوان 4 و 5 و عدد 10 به عنوان 5 و 5 در اولویت قرار گرفته است. به همین دلیل نماد عدد 10 پیش از جدول ارزش مکانی معرفی شده است و سپس جدول ارزش مکانی از روی نماد 10 معرفی شده است. استفاده از مبنای 5 در ابزارهای شمارش مانند انگشتان، ماشین، اتوبوس، چینه، چوب خط و ... لحاظ شده است تا با کمک این ابزارها تفکر در مبنای 5 در ذهن دانش‌آموزان نهادینه شود.

2/4. کار با انگشتان

در نظام آموزشی پیشین استفاده از انگشتان به شدت مورد تقبیح قرار گرفته بود. اما در این نظام آموزشی کار با انگشتان به عنوان یک ابزار که همیشه در دسترس دانش‌آموزان قرار دارد مورد تاکید است. البته این به معنی آن نیست که دانش‌آموز با شمارش مستقیم از انگشتان در جمع و تفریق استفاده کند، بلکه انگشتان ابزاری برای درک تعداد زیر پنج بدون شمارش و جمع و تفریق با انتقال از یک دست به دست دیگر و بستن انگشتان باز و بدون شمارش انجام پذیرد. برای این کار لازم است دانش‌آموزان به اندازه کافی با دستان خود دست‌ورزی کنند تا آمادگی لازم برای نمایش‌های مختلف اعداد با انگشتان خود را داشته باشند. برای جمع کردن با باقیمانده‌های اعداد در مبنای 5 کار می‌کنند و بقیه دسته‌های 5تایی را به ذهن خود می‌سپارند. مثلاً می‌گوییم عدد 7 را با 2 انگشت و یک دسته 5تایی که روی شانه دانش‌آموز قرار دارد می‌توان نمایش داد. این به رشد حافظه عدد دانش‌آموزان نیز کمک می‌کند.

3/4. کار با ابزارهای شمارش

ابزارهای شمارش مختلفی که بر مبنای 5 تکیه  دارند به جز انگشتان در این کتاب به کار رفته است. مثل ماشین که 5 سرنشین دارد و اتوبوس که دو طبقه دارد و در هر طبقه 5 صندلی نمایش داده شده است و یا چوب خط که در آن شمارش 5 تا 5 تا مورد تاکید است و یا چینه‌های 5تایی که به صورت افقی و عمودی مورد استفاده قرار میگیرند. چینه‌ها از جهتی نسبت به سایر ابزارها اهمیت بیش‌تری دارند و آن اینکه به درک عدد به عنوان طول کمک می‌کنند چرا که چینه چهارتایی بلندتر از چینه سه تایی است و مانند آن که به درک کوچک‌تر و بزرک‌تر و مفهوم بین کمک می‌کند. ابزار چوب خط از لحاظ درک آماری و جمع آوری داده اهمیت پیدا می‌کند و ماشین و اتوبوس هم از لحاظ حل مسئله ابزار مناسبی برای شکل کشیدن و حل مسئله با رسم شکل هستند. محور نیز در نهایت برای شمارش و جمع و تفریق استفاده خواهد شد. حتی ساعت غیر ابزاری برای شمارش گسسته زمان است. البته لفظ شمارش در دو مورد اخیر به طور مستقیم به کار نمی‌رود.

4/4. تنوع نمایش‌ها

تنوع کاربرد نمایش‌های مختلف اعداد از جمله انگشتان، چنه، چوب خط و ... از این لحاظ مورد تاکید است که به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا به یک ابزار خاص وابسته نشوند و کم کم بتوانند محاسبات را به صورت ذهنی و بدون استفاده از ابزارها انجام دهند. البته این اتفاق که دانش‌آموز از ابزارها بی نیاز شود مورد تشویق است اما نباید به دانش‌آموزان فشار آورد تا به زور ابزارها را کنار بگذارند بلکه باید به آنها فرصت داد تا این اتفاق به طور طبیعی بیفتد. از طرف دیگر بعضی از ابزارهای یادگیری شمارش به بعضی دیگر برتری موضوعی دارند که باید از این برتری در جای خود استفاده شود. برخی از ابزارها هم ممکن است برای یک سبک شناختی مناسب تر از سایر ابزارها باشند. لذا از جایی به بعد دانش‌آموزان را باید برای استفاده از ابزار دلخواه آزاد گذاشت تا ابزاری که با آن راحت تر هستند را انتخاب کنند. اگر معلم بتواند از ابزارهای ملموس دیگری مثل مهره و لوبیا و دکمه و مانند آن استفاده کند و آن‌ها را در اختیار دانش‌آموز نیز قرار دهد در جهت برآورده شدن اهداغ کتاب کمک کرده است.

5. الگوهای عددی و الگوهای هندسی

تفکر عددی و تفکر هندسی دو رودخانه موازی هستند که همگام با هم پیش می‌روند. برای دانش‌آموزان نیز رشد تفکر عددی و رشد تفکر هندسی با هم هماهتگ است. البته برای بعضی سبک‌های یادگیری حرکت از رشد تفکر هندسی به سوی رشد تفکر عددی است و برای برخی دیگر برعکس این اتفاق بیش‌تر مورد تکرار است. اما در هر حال این دو مهارت با کمک همدیگر رشد می‌کنند و گاهی رشد یکی بر رشد دیگری تکیه می‌کند. در این کتاب تنها الگوهای عددی شمارشی افزایشی که درجه یک یا درجه دو هستند مورد استفاده قرار گرفته است که کشف الگوی افزایش با کمک دنباله تفاضلی ممکن خواهد بود. برای الگوهای درجه 2 دوبار باید از دنباله تفاضلی بهره گرفت. الگوهای هندسی در این کتاب لزوماً برای شمارش به کار برده نشده‌اند. الگوهای یکی در میان، دوتا درمیان و مانند آن برای درک مفهوم الگوی هندسی و همچنین طراحی الگو متناسب با ذوق و خلاقیت دانش‌آموزان مورد تاکید است. الگوهای هندسی به جز توازی با الگوهای عددی دانش‌آموزان را برای طراحی فرش نیز آماده می‌کنند.

1/5. حرکت از هندسه به عدد